古希腊有许多学者热衷于几何的研究,甚至有的学者还热衷于几何的教学,这为几何逐渐形成为一门学科奠定了结构基础,因为教学与研究不同,研究可以是个案地,独立地进行,而教学则必须相对成体系,要明确概念,要构建前后关系。关于这一点,普罗克洛斯在介绍完泰勒斯的工作之后又写道:
“毕达哥拉斯继泰勒斯之后,将这门科学改造为自由的教育形式,首先检验其原理,并用一种无形和理智的方式探讨其定理”
关于毕达哥拉斯学派的工作,我们曾讨论过,他们相信宇宙的构造与整数有关,当他们发现√2是无理数时,就把发现者扔到大海里。关于几何学,除了毕达哥拉斯定理之外,他们还有一个重要的工作,就是发现并证明了三维空间只有五种正多面体,如图(1)所示
这五种正多面体是:正四面体,正八面体,正六面体,正十二面体,正二十面体。
这些结果是重要的,但是,得到这些结果的证明方法则是更重要的。这个证明依赖一个关于多面体点,棱,面的个数之间的一个关系公式,这个公式后来被称为欧拉公式:在一个简单多面体中,用V表示顶点个数,E表示棱的个数,F表示面的个数,则欧拉公式为:偏方复十二面体是什么样。
通过具体图形的计算,是容易归纳出这个公式的,但是要证明这个公式还是需要相当的思考。在欧拉公式的基础上,证明只存在五种正多面体就比较容易了,我们证明如下。
因为是正多面体,因此,每个面都是相同的正多边形,设每个面是正n边形;交于每个顶点的棱的个数是相同的,设为m。先用面来计算棱数,因为每条棱属于两个面,可以得到
再用顶点来计算棱数,因为每条棱有两个顶点,可以得到
1/n+1/m=1/2+1/E(2)
因为每个面的多边形至少有三个边,即n≥3;每个顶点至少有三个棱相交,即m≥3。又因为E为正整数,由(2)式,n和m不能同时为大于3的数,否则(2)式的左边将不可能大于1/2。这样偏方复十二面体是什么样。
当n=3时,m=3,4,5,E=6,12,30,对应正四面体,正八面体,正二十面体
当m=3时,n=3,4,5,E=6,12,30,对应正四面体,正六面体,正十二面体
这样就得到了毕达哥拉斯学派的结论:三维空间只有五种正多面体。我们不知道毕达哥拉斯学派是如何得到这个结论的,但有一点是可以肯定的,就是他们已经能够清晰地分辨出什么是正多面体,以及正多面体的顶点,棱和面,并且能够直观地得出一些涉及这些概念之间的关系式。
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